Сравнение моделей г марковица и у шарпа. Формирование инвестиционного портфеля, их виды и классификация. Вопросы для самопроверки

Современная теория портфеля основана на использовании статистических и математических методов. Ее отличительной чертой является взаимосвязь между рыночным риском и доходом, а именно: инвестор должен формировать относительно рискованный портфель, чтобы рассчитывать на относительно высокий доход. Использование такого подхода требует определенного компьютерного и математического обеспечения. Во многих случаях стратегически верным будет комбинирование перечисленных выше подходов.

На сегодняшний день наиболее распространены две модели определения характеристик портфеля: модель Марковица и модель Шарпа. Обе модели созданы и успешно работают в условиях уже сложившихся относительно стабильных западных фондовых рынков. К сожалению, украинский фондовый рынок назвать стабильным пока еще нельзя. Поэтому была предпринята попытка, создать модель, способную успешно функционировать в условиях формирующегося, развивающегося и реорганизовывающегося фондового рынка, каковым на сегодняшний день и является фондовый рынок Украины. Предложенная модель получила название "Квази-Шарп" (вследствие схожести в общих чертах с моделью Шарпа) и будет приведена ниже.

Модель Марковица

В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения (holding period). В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает то и другое одновременно).

Подход Марковица к принятию решения дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификации с помощью покупки не одной, а нескольких ценных бумаг.

Модель основана на том, что показатели доходности различных ценных бумаг взаимосвязана: с ростом доходности одних бумаг наблюдается одновременный рост по другим бумагам, третьи остаются без изменения, а по четвертым наоборот доходность снижается. Такой вид зависимости не является детерминированным, т.е. однозначно определенным, а стохастическим и называется корреляцией.

Модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, принадлежащих различным отраслям. Основной недостаток модели Марковица - ожидаемая доходность ценных бумаг принимается равной средней доходности по данным прошлых периодов. Поэтому модель Марковица рационально использовать при стабильном состоянии фондового рынка, когда желательно сформировать портфель из ценных бумаг различного характера, имеющих более или менее продолжительный срок жизни на фондовом рынке

Модель Шарпа

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Основная идея модели заключается в том, что инвестор не приемлет риск и готов идти на него только в том случае, если это предполагает дополнительную выгоду, т.е. повышенную норму отдачи на вложенный капитал по сравнению с безрисковым вложением. В качестве безрисковой ставки используется норма доходности по долгосрочным правительственным облигациям со сроком погашения, как правило, через 10 - 20 лет. Модель Шарпа применима в основном при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих большую часть фондового рынка. Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. В этой модели не учитывается риск колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения.

Модель "Квази-Шарп"

Модели Марковица и Шарпа были созданы и успешно работают в условиях западных фондовых рынков, обладающих стабильностью и сравнительной прогнозируемостью. В странах с переходной экономикой фондовые рынки находятся на этапе становления и развития. Происходит постоянная реорганизация. Фондовый рынок Украины не является исключением. В таких условиях применение моделей Марковица и Шарпа приводит к искажениям, связанным с нестабильностью котировок ценных бумаг и фондового рынка в целом.

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения модели Шарпа:

В качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

Существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

Взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности ценной бумаги ) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка ) описывается функцией линейной регрессии ;

Под риском ценной бумаги понимается степень зависимости изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

Считается, что данные прошлых периодов, используемые при расчете доходности и риска, отражают в полной мере будущие значения доходности.

По модели Шарпа отклонения доходности ценной бумаги связываются с отклонениями доходности рынка функцией линейной регрессии вида:

где - отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;

Отклонение доходности рынка от безрисковой;

Коэффициенты регрессии.

Исходя из этой формулы, можно по прогнозируемой доходности рынка ценных бумаг в целом рассчитать доходность любой ценной бумаги, его составляющей:

где , - коэффициенты регрессии, характеризующие данную ценную бумагу.

Теоретически, если рынок ценных бумаг находится в равновесии, то коэффициент будет равен нулю. Но так как на практике рынок всегда разбалансирован, то показывает избыточную доходность данной ценной бумаги (положительную или отрицательную), т.е. насколько данная ценная бумага переоценивается или недооценивается инвесторами.

Коэффициент называют -риском, т. к. он характеризует степень зависимости отклонений доходности ценной бумаги от отклонений доходности рынка в целом. Основное преимущество модели Шарпа - математически обоснована взаимозависимость доходности и риска: чем больше - риск, тем выше доходность ценной бумаги.

Кроме того, модель Шарпа имеет особенность: существует опасность, что оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет принадлежать построенной линии регрессии. Этот риск называют остаточным риском . Остаточный риск характеризует степень разброса значений отклонений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии. Остаточный риск определяют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии. Остаточный риск i - ой ценной бумаги обозначают .

Другими словами показатель риска вложения средств в данную ценную бумагу определяется - риском и остаточным риском .

В соответствии с моделью Шарпа доходность портфеля ценных бумаг – это среднее взвешенное значение показателей доходности ценных бумаг, его составляющих, с учетом - риска. Доходность портфеля определяется по формуле:

где - безрисковая доходность;

Ожидаемая доходность рынка в целом;

Риск портфеля ценных бумаг может быть найден с помощью оценки среднего квадратичного отклонения функции и определяется по формуле:

где - среднее квадратическое отклонение доходности рынка в целом, т. е. показатель риска рынка в целом;

Риск и остаточный риск i - ой ценной бумаги;

С использованием модели Шарпа для расчета характеристик портфеля прямая задача приобретает вид:

Обратная задача выглядит аналогичным образом:

При практическом применении модели Шарпа для оптимизации фондового портфеля используются следующие допущения и формулы.

1). Обычно в качестве безрисковой ставки доходности принимают доходность государственных ценных бумаг, например, облигаций внутреннего государственного займа.

2). В качестве доходности рынка ценных бумаг в целом в период t используются экспертные оценки рыночной доходности от аналитических компаний, из средств массовой информации и т. п. В условиях развитого фондового рынка для этих целей принято использовать какие-либо фондовые индексы. Для не очень большого по количеству ценных бумаг фондового рынка принимается среднее значение доходности ценных бумаг, составляющих рынок, за этот же период t:

где - доходность рынка ценных бумаг в период t;

Исходные данные для расчета (доходность ценных бумаг) остаются без изменений (см. табл. 4.9.1). Кроме того, модель Шарпа предусматривает использование доходности рынка в целом и безрисковой доходности. Доходность рынка в целом принималась на основании экспертных оценок, ввиду отсутствия данных из внешних источников. В качестве безрисковой доходности принималась приведенная к недельному сроку доходность трехмесячных государственных краткосрочных облигаций. Данные о доходности рынка в целом и о безрисковой доходности представлены в табл. 4.9.5.

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяют находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет п ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить п значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E (r i) каждой ценной бумаги, п величин дисперсий всех доходностей и п (п – 1)/2 выражений ковариаций σi,j акций в портфеле. При увеличении числа ценных бумаг в портфеле количество необходимых значений ковариаций становится непомерно большим. Например, если инвестор желает сформировать портфель из 30 акций, то ему необходимо вычислить 435 ковариаций, 30 ожидаемых доходностей и 30 дисперсий, т.е. всего около 500 величин! Если количество ценных бумаг удвоить (до 60), то инвестору понадобится уже 1770 значений ковариаций плюс 120 величин E (r i) и σj. А при 100 ценных бумаг в портфеле необходимое количество исходных данных превысит 5000.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался, в настоящее время известен как одноиндексовая модель Шарпа. Далее приводятся основные этапы построения данной модели.

Общее описание модели

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа , позволяющий связать две случайные зависимые переменные величины X и Y линейным выражением типа

В модели Шарпа в качестве зависимой переменной Y берется доходность r i,t какой-то i-й акции портфеля, измеренная за выбранные шаги расчета. Независимой переменной X считается величина какого-то рыночного показателя, воздействующего на доходности акций портфеля. Таковым показателем может быть, например, темп роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность рыночного портфеля r т,t вычисленную за те же шаги расчета на основе индекса Standard and Poor"s (S&P500 ). Выражение (3.12) называется уравнением линейной регрессии, а постоянные коэффициенты а и β считаются параметрами линейной регрессии .

В российских условиях доходность r т,t рыночного портфеля можно оценивать с использованием отечественных индексов РЦБ (например, индекса ММВБ или индекса РТС). Если задана длительность холдингового периода и известны значения индекса I в начале I нач и в конце I кон холдингового периода, то доходность рыночного портфеля за этот период находится по формуле

Построение регрессионной модели

Для наглядного изложения содержания модели Шарпа предположим, что портфель формируется из рассмотренных ранее акций фирм А, В и С. Пусть задана длительность будущего холдингового периода (для последующего сравнения модели Шарпа с моделью Марковица будем полагать, что эта длительность совпадает с выбираемой длительностью в модели Марковица). Зададим также N = 10 шагов расчета в прошлом (что совпадает с введенными в прошлой главе начальными условиями для примера по Г. Марковицу). На основании данных об изменениях рыночного индекса (полученных из открытых источников) вычислим доходности r т,t рыночного портфеля за выбранные N шагов расчета. Полученные данные внесем в табл. 3.5, где также приведены доходности r с,t акции С, вычисленные ранее.

Таблица 3.5

Условные доходности рыночного портфеля и акции С

В таком случае для акции С уравнение линейной регрессии (3.14) должно принимать вид

Строго говоря, можно выбирать любые величины параметров αC и βC, понимая, что получаемые из этого выражения теоретические величины r С,t будут отличаться от реально наблюдаемых величин (см. табл. 3.5).

Например, если выбрать αC = 0,1, а βC = 0,5, то теоретическая величина r С,1теор составит

что отличается от наблюдаемого значения r С,1набл= 0,110. Чтобы уровнять теоретические и наблюдаемые величины, необходимо провести коррекцию теоретической величины r С,1теор. Достигается это путем добавления к значению r С,1теор ошибки εС,1, которая составляет εС,1 = -0,0505, поскольку (0,1605 – 0,0505 = 0,110).

Можно убедиться, что и для второго шага расчета

также не совпадает с наблюдаемой величиной εС,2 = 0,320, поэтому требуется корректировать r С,2теор ошибкой εС,2 = + 0,074.

Поскольку величины r m,t и r C,t случайные, то, скорее всего, и остальные теоретические значения r C,t получаемые с использованием уравнения линейной регрессии, будут отличаться от реально наблюдаемых величин r C,t, приведенных в табл. 3.5. В связи с этим величины r C,t теор необходимо корректировать ошибкой ε C,t на каждом шаге расчета. Так как величины r m,t , и r C,t случайные, то и значения ошибки ε C,t также должны представлять собой случайные величины. В итоге уравнение линейной регрессии для акции С должно иметь следующий вид:

где ε C,t – случайная ошибка.

В общем случае если в портфель включено п акций, то для любой г-й акции портфеля уравнение линейной регрессии выглядит следующим образом:

где r i,t – доходность i -й акции портфеля за шаг t; αi – параметр линейной регрессии, называемый коэффициентом "альфа" , показывающий, какая часть доходности i -й акции портфеля не связана с изменениями доходности рыночного портфеля r m,t; βi – параметр линейной регрессии, называемый коэффициентом "бета" , характеризующий чувствительность доходности г-й акции портфеля к изменениям рыночной доходности r m,t; r m,t – доходность рыночного портфеля в момент t; εm,t – случайная ошибка , свидетельствующая о том, что реальные, наблюдаемые значения r i,t отклоняются от теоретических величин r i,tтеор, получаемых с использованием линейной зависимости (3.13).

Уравнение (3.13) является основным в линейном регрессионном анализе и берется за основу в модели Шарпа. В линейном регрессионном анализе полагается, что средняя арифметическая (ожидаемая) величина ошибок наблюдения Ε (ε i,t) = 0, т.е. фактические величины r i,t в среднем равномерно распределяются выше и ниже значений, получаемых при линейной регрессии.

Модель Шарпа рассматривает взаимосвязь доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Основные допущения модели Шарпа:

В качестве доходности ценной бумаги принимается математическое ожидание доходности;

Существует некая безрисковая ставка доходности , т. е. доходность некой ценной бумаги, риск которой всегда минимален по сравнению с другими ценными бумагами;

Взаимосвязь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности (далее:отклонение доходности ценной бумаги ) с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности (далее: отклонение доходности рынка ) описывается функцией линейной регрессии ;

где - отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой;

Отклонение доходности рынка от безрисковой;

Коэффициенты регрессии.

Основной недостаток модели - необходимость прогнозировать доходность фондового рынка и безрисковую ставку доходности. Модель не учитывает колебаний безрисковой доходности. Кроме того, при значительном изменении соотношения между безрисковой доходностью и доходностью фондового рынка модель дает искажения. Таким образом, модель Шарпа применима при рассмотрении большого количества ценных бумаг, описывающих бо льшую часть относительно стабильного фондового рынка.

41.Рыночная премия за риск и коэффициент бета.

Рыночная премия за риск - разница между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой ставкой.

Бета-коэффициент (бета-фактор) - показатель, рассчитываемый для ценной бумаги или портфеля ценных бумаг. Является мерой рыночного риска , отражая изменчивость доходности ценной бумаги (портфеля) по отношению к доходности портфеля (рынка ) в среднем (среднерыночного портфеля). В случае компаний, не имеющих торгуемых на рынке акций, можно расчитать бета-коэффициент, основанный на сравнении с показателями компаний-аналогов. Аналоги берут из той же отрасли, бизнес которых максимально похож на бизнес непубличной компании. При расчёте необходимо сделать ряд поправок, в частности, на разницу в структуре капитала сравниваемых компаний (соотношения долга и акционерного капитала).

Коэффициента Бета для актива в составе портфеля ценных бумаг, или актива (портфеля) относительно рынка является отношением ковариации рассматриваемых величин кдисперсии эталонного портфеля или рынка соответственно :

где - оцениваемая величина, для которой вычисляется коэффициент Бета: доходность оцениваемого актива или портфеля, - эталонная величина, с которой происходит сравнение: доходность портфеля ценных бумаг или рынка, - ковариация оцениваемой и эталонной величины, - дисперсия эталонной величины.

Бета-коэффициент – это единица измерения, которая дает количественное соотношение между движением курса данной акции и движением рынка акций в целом. Нельзя путать с изменчивостью.

Бета-коэффициент (англ. beta coefficient) – это показатель степени риска применительно к инвестиционному портфелю или к конкретным ценным бумагам; отражает степень устойчивости курса данных акций по сравнению с остальным фондовым рынком; устанавливает количественное соотношение между колебаниями цены данной акции и динамикой цен рынка в целом. Если этот коэффициент больше 1, значит, акция неустойчива; при бета-коэффициенте меньше 1 – более устойчива; именно поэтому консервативные инвесторы в первую очередь интересуются этим коэффициентом и предпочитают акции с низким его уровнем.

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бу маг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E (ri) каждой ценной бумаги, n величин с 2 i диспер сий всех норм отдачи и n(n1)/2 выражений попарных ковариаций ai j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как однондексная модель Шарпа ( Sharpe singleindex model).

Общее описание модели. В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = а + (ЗхХ. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm , вычисленную на основе индекса Standart and Poor s (S & P 500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S & P 500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm 1, rm 2, ... , rmN . При этом доходность ri какой-то i ой ценной бумаги имела значения ri 1, ri 2, ... , riN . В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

a i параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm ;

P i параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm t доходность рыночного портфеля в момент t ;

sit случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri t и rm t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру р i , поскольку он определяет чувствительность доходности i ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если й >1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm . Соответственно, при P j < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E (r) j , чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом р > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с р < 1 менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг р > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной

Оценка результатов регрессии. Параметры α i и β i регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между

Определение параметров ai и № регрессионной модели. Для на хождения параметров a i и P i по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров a i и P i берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок в . Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры a i и P i принимают следующие значения:

изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri . Однако величины a i и й не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки e i . Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri , определяется разбросим случайных ошибок, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки.

Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию а] ценных бумаг, для

которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию ценной бумаги а] можно представить в виде двух слагаемых:

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri t = a i + P irm t), а второе слагаемое степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина ^а 2 /а] ближе к единице, тем более точная регрессионная модель.

Следует иметь в виду, что квадрат коэффициента корреляции является общепризнанной мерой оценки линейной регрессии, то есть мерой того, насколько точно уравнение регрессии подходит для описания соотношений реальных данных ri t и rm t .

Поскольку для определения оптимального портфеля с использованием модели Шарпа понадобятся значения дисперсий ^ случайных

ошибок, mo вычислим их. Общая формула для вычисления дисперсии случайной ошибки имеет вид:

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N 2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении a i и P i.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей. Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:

1) Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E (ε i)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .

2) Дисперсия случайных ошибок σ ε 2 , i для каждой ценной бумаги постоянна.

3) Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

4) Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

5) Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E (ri), σ i 2 и

σ i , j для любых ценных бумаг в портфеле:

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и P i позволя ет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доход ность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии а 2 и ковариа

ции б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений i, n величин Р i , n значений < , а также E (rm) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: (n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Определение ожидаемой доходности и дисперсии портфеля.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n +1)ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

Итак, отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа:

1) Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri , t каждой ценной бумаги.

2) По рыночному индексу (например, AK & M) вычислить рыночные доходности rm , t для того же промежутка времени.

3) Определить величины β i:

5) Вычислить дисперсии σ ε 2 i ошибок регрессионной модели

6) Подставить эти значения в уравнения (7.15 – 7.18)

После такой подстановки выяснится, что неизвестными величина ми являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E *, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

Статьи по теме